На эту занимательную задачку первым обратил моё внимание Алексей Павлов (о чем я вскоре забыл), а придумал ее Гвидо Гранди — итальянский священник (а, заодоно, математик, философ и инженер), который родился еще в XVII веке. Но, вскоре, Хабр опять напомнил мне об этом в статье «Парадокс Гранди. Как современные школьники повторяют ошибку Лейбница и Эйлера», и, как свойственно Хабру, в комментариях к статье зачастую можно найти гораздо больше интересного, чем в самой статье.
Суть задачи: отец оставляет в наследство двум сынам неделимое сокровище, скажем драгоценный камень, но сынам разрешено пользоваться камнем поочередно. И получается, что суть операций сводится к бесконечной сумме:
1-1+1-1... Чему же она будет равна?
Сразу же открою ответ, считающийся правильным: решение вычислить невозможно.
Если представить этот ряд в виде графика дискретной функции от времени f(t), то значение этой функции будет колебаться ("прыгать") от нуля до единицы на каждом дискретном шагу. Если же функция будет непрерывной, то получается классическая синусоида. Чему равно значение синуса, при стремлении аргумента в бесконечность? Чему угодно, только на ограниченном отрезке.
А с бесконечными рядами все еще интереснее, ведь их слагаемые можно группировать, например:
(1-1)+(1-1)...=0+0... Считаем суммы в каждой скобке, и получаем ответ — 0 (камень у первого брата)
1+(1-1)+(1-1)...=1+0+0... Считаем суммы в каждой скобке, и получаем ответ — 1 (камень у второго брата)
А еще можно усреднить два варианта:
(0+1):2=0,5 (по справедливости, каждому брату должна принадлежать половина камня по модулю).
Но и это еще не всё. Братья могут договориться, что могут держать у себя камень разные по продолжительности, но равные промежутки времени, например, по три промежутка:
(1+1+1)+(-1-1-1)...=3-3+3-3... При таком подходе решения можно уже искать в промежутке от нуля до трех.
Или наоборот, от минус трёх до нуля:
(-1-1-1)+(1+1+1)...=-3+3-3+3...
Очевидно, ничто не мешает расширить этот диапазон ещё больше.
Братья вообще могут договорится, что камень будет на вечном хранении у одного из них до тех пор, пока другой брат не решит, что пора уже и ему хранить камень без ограничения:
(1+1+1...)+(-1-1-1...)...
Итак, как говорят математики, решение зависит от выбранной аксиоматики.
Решение подобных задач дает повод к разработке серьезных математических инструментов (например таких, как теория рядов) впоследствии значительно упрощающих жизнь.
Лично мне кажется, что ответ к данной задаче должен быть дискретно-логическим: «-1 или 0 или 1», такой подход соответствует логике оператора космического корабля (<=>). Для этого ряд нужно представить как:
1-1-1+1+1-1-1+1+1...
Транзитное значение «0» дискретной функции означает, что камень ровно на середине пути от одного брата к другому.